入試問題に挑戦第４５回

＜問題＞
　２以上の整数の中で、１とその数自身でしか割り切れない数を素数といいます。例えば、２、３、５は素数で、４は素数ではありません。
　素数を見つけるのに次のような方法があります。

　　　　（手順１）　２から始めて、それに続く整数を順番に書く。
　　　　（手順２）　２を残し、残りの２の倍数を消していく。
　　　　（手順３）　３を残し、残りの３の倍数を消していく。
　　　　（手順４）　５を残し、残りの５の倍数を消していく。
　　　　（手順５）　７を残し、残りの７の倍数を消していく。
　　　　（手順６）　１１を残し、残りの１１の倍数を消していく。
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　この手順を繰り返していくと、素数だけが消されずに残ります。
　下の「２〜９５」の表を使いながら、次の（１）〜（３）の問いに答えなさい。

（１）　２以上２０以下の整数の中にある素数の和を求めなさい。

（２）　２以上９５以下の整数の中にある素数は全部で何個ありますか。

（３）　差が２であるような２つの素数を双子素数といいます。例えば、３と５、５と７などは双子素数です。２以上９５以下の整数の組の中で双子素数は全部で何組ありますか。

（０２年浅野）

入試問題に挑戦第４５回解答編

＜解答＞
　素数を見つけていく方法としては、この問題のように倍数を消していくのが一番です。入試ではじめて経験した生徒もいたかもしれませんが、ぜひ覚えておいて欲しいですね。

　（手順１→２）

　（手順３）

　（手順４）

　（手順５）

　（手順６→終了）

　実際にやってみればわかりますが、７の倍数で消すのは「７×７」、「７×１１」、「７×１３」の３つだけです。つまり、７の場合には７未満の素数との積はすでに消えているので、７以上の素数との積を消すことになります。

　このことから、１１以上の素数の場合は、最小が「１１×１１」になるので、この数表では入りません。
　よって、７の倍数を消した時点で、この作業は終了。残された数はすべて素数ということになります。このことに気づかずに、その他の数もチェックしてしまうと、時間をロスするので要注意。

　表ができあがってしまえば、問いを解くのは容易です。

（１）　２＋３＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＝７７

（２）　２４個

（３）　「３と５」、「５と７」、「１１と１３」、「１７と１９」、「２９と３１」、「４１と４３」、「５９と６１」、「７１と７３」の８組

＜余談＞
　ところで、素数を見つける数表は、この問題では１０個ずつ並べてありますが、実は６個ずつ並べてみると面白いことがわかります。倍数を消す作業や双子素数を見つけるときに、１０個の場合よりやりやすいことがわかるでしょう。なぜ、やりやすくなるのかを、下の表を使って実際にやって考えて見てください。